Zadanie 1 — grudzień 2024 — Formuła 2023

Sebastian Szybka
Świat jest matematyczny

Prawa fizyczne są wyrażone w języku matematyki. Pozornie nie kryje się za tym nic niezwykłego. Poeta przecież też zapisuje swoje wiersze za pomocą zestawu znaków reprezentujących słowa. Mimo to relacja matematyki do rzeczywistości jest odmienna niż relacja języka do poezji. Tajemniczy i zagadkowy związek matematyki z fizycznym światem jest określany mianem matematyczności przyrody. Co dokładnie rozumie się przez to pojęcie?

Wyobraźmy sobie, że znajdujemy kartkę, która została wydarta z książki Pawła Jasienicy¹ Polska Jagiellonów. Czy na podstawie pojedynczej kartki jesteśmy w stanie odgadnąć zawartość sąsiednich stron? Do tego strzępka informacji można dopasować wiele alternatywnych i nieprawdziwych historii. W fizyce dzięki odgadnięciu fragmentu struktury matematycznej odpowiadającej wycinkowi rzeczywistości, czyli pojedynczej kartce z matematycznej księgi Wszechświata², potrafimy odtworzyć cały rozdział z tej księgi. Fizycy nie zaakceptują nowej teorii, jeśli jej struktura matematyczna odtwarza tylko znane fakty. Domagamy się, aby nowa teoria zawierała nowe przewidywania, aby jej matematyczna struktura odsłaniała nieznane wcześniej fragmenty rzeczywistości. Badania teoretyczne często o wiele lat wyprzedzają niejedną obserwację – na potwierdzenie realności fal grawitacyjnych trzeba było czekać ponad sto lat!

Istnieje zagadkowa odpowiedniość struktur matematyki i fizycznego świata. Fizycy twierdzą, że przyroda jest matematyczna, ponieważ można poznawać ją równocześnie na dwa sposoby: empirycznie, czyli dzięki obserwacjom i eksperymentom, ale także gdy z ołówkiem w ręku przedzieramy się przez gąszcz odpowiadających jej matematycznych struktur. Ten drugi sposób nie oznacza jedynie opisywania rzeczywistości w języku matematyki – jest metodą odkrywania świata.

Obecnie znamy tylko pojedyncze rozdziały z galileuszowej księgi Wszechświata. Nasze teorie nie są ostateczne. Oznacza to, że mają one swój zakres stosowalności oraz że do ich działania niezbędne okazują się dane pochodzące z eksperymentów i z obserwacji. Wielu fizyków wierzy, że kiedyś uda się odnaleźć jedną matematyczną strukturę niezawierającą parametrów, które należałoby wyznaczyć z obserwacji. Nie mamy pewności, czy taka struktura istnieje ani czy jej złożoność nie przekracza możliwości naszych umysłów. Ponadto naiwnością byłoby sądzić, że każda teoria dająca się pomyśleć została zrealizowana w przyrodzie. Matematyczność przyrody polega na tym, że gdy już natrafimy na fragment właściwej matematycznej struktury, przez wiele kolejnych lat będziemy mogli poznawać rzeczywistość dzięki analizowaniu tej struktury.

Wyobraźnia człowieka jest bardzo ograniczona. Niesamowicie trudno wymyślić historię, która nie została już opowiedziana, czy też namalować naprawdę oryginalny obraz. Tworzymy nowe rzeczy w wyniku przetwarzania znanych. Fantastyczne potwory na obrazach Boscha³ to ludzie o głowach zwierząt. Wydaje się, że tylko matematyka niesie w sobie moc tworzenia pojęć istotnie nowych, oryginalnych, a do tego mających swoje odpowiedniki w rzeczywistym świecie. Gdyby nie równania Maxwella, które opisują światło, nikomu nie wpadłoby do głowy, że podział na czas i przestrzeń jest tylko złudzeniem naszych zmysłów.

Matematyzacja jest oznaką dojrzałości teorii. W fizyce, która zajmuje się najprostszymi i najbardziej fundamentalnymi układami, nastąpiła ona najwcześniej. Im bardziej fundamentalna teoria, tym ważniejszą rolę odgrywa w niej matematyka.

Łukasz Lamża
Świat nie jest matematyczny

Nie jestem pewien, czy świat w ogóle jest „jakiś”. Ale jeżeli już jakiś jest, to nie matematyczny. Co by to właściwie miało znaczyć?

Wszystko zaczęło się od erozji¹ naszego zdroworozsądkowego przekonania, że świat jest z grubsza taki, jakim go doświadczamy. W żargonie filozoficznym oznaczałoby to odchodzenie od realizmu naiwnego. To przekonanie, że jeżeli postrzegam jabłko jako czerwone, to ono jest czerwone. Innymi słowy: naiwny realista przypisuje światu – obiektywnemu „światu samemu w sobie”, niezależnemu od istnienia bądź nieistnienia ludzi – cechy swojej własnej świadomości, cechy tego, jak człowiek widzi świat.

Przykład koloru jest szczególnie ciekawy, ponieważ skrupulatna analiza materii i widzenia barwnego mówi nam, że jabłko w żadnym zwykłym sensie nie jest czerwone, a tylko człowiek, widzący je, przeżywa wrażenie czerwieni. Filozofowie lubią w takich sytuacjach przypominać, że fala elektromagnetyczna wędrująca w przestrzeni nie ma w sobie nic „czerwonego”, a tą jej cechą, która ostatecznie wywołuje w nas owo wrażenie barwne, okazuje się długość fali. Ktoś mógłby powiedzieć, że prawdziwe są nie barwy, tylko długości fal.

Uznaję bez walki – bo jaki sens walczyć z oczywistą prawdą – że świat daje się matematyzować. Innymi słowy: da się go wyrazić poprzez matematykę. Cóż, mówi nam o tym niedwuznacznie doświadczenie codzienne – jeżeli mam 40 jabłek i zjem jedno, nie muszę ich żmudnie przeliczać, aby wiedzieć, że mam teraz 39 jabłek. Przyznaję też chętnie, że matematyka jest wyjątkowo skutecznym narzędziem poznawania świata. Przykładowo: równania Maxwella naprawdę są bardzo dobrym narzędziem do opisu światła. To jednak nie to samo, co przypisanie cechy matematyczności obiektom występującym w świecie!

Jest to przecież dokładnie ten sam błąd, który popełniają realiści naiwni, gdy po tym jak do świata przyłożą miarę swego oka, orzekają, że jest on czerwony! Fizyk, który przykłada do świata rachunek różniczkowy, nie ma prawa twierdzić, że proces przez niego analizowany jest „różniczkowalny”. Żaden poziom skuteczności matematyki i jej „adekwatności” nie ma przy tym żadnego znaczenia. Zresztą inne metody też odznaczają się adekwatnością i skutecznością. Farbami olejnymi świetnie maluje się krajobrazy. Ośmielam się twierdzić, że odwzorowanie matematyczne porządnego krajobrazu morskiego jest wręcz wielokrotnie gorsze od odwzorowania olejnego czy nawet pastelowego. To, że świat daje się „uolejnić”, albo że jest „pastelowalny”, nie oznacza jednak, że żyjemy w olejnym albo w pastelowym Wszechświecie!

Gdy detektyw Poirot² odwiedza starego znajomego w ponurym angielskim domostwie, mogę przewidzieć nie gorzej niż fizycy matematyczni z CERN-u³, że ktoś tu padnie trupem. Wszechświat nie tylko wyraźnie daje się literaturyzować; jest jeszcze lepiej – jego literaturyzacja daje nam autentyczną moc przewidywania! Nie oznacza to jednak z automatu, że Wszechświat jest literaturą.

Na koniec pozostaje problem fundamentalny: muszę przyznać, że teza o świecie, który jest „matematyczny”, okazuje się dla mnie w istocie niezrozumiała. Co tak naprawdę miałoby to oznaczać? Że wielka lupa przyłożona do elektronu ukaże nam wibrujące w jego wnętrzu maleńkie znaczki 5, ψ i Σ? Oczywiście, że nie! – wykrzykną pewnie słusznie oburzeni zwolennicy hipotezy Wszechświata matematycznego. Dobrze – odpowiem cierpliwie – ale przecież opis elektronu składa się właśnie z tych znaczków i to na podstawie takiego opisu twierdzicie, że świat jakoś ten opis przypomina. Matematycy, gdy ich poprosić o opisanie elektronu, chętnie opowiadają o grupach, o całkach, o operatorach, o macierzach, o funkcjach i o wyznacznikach, jednak wszystkie te opowieści powstają z użyciem małych znaczków na papierze lub na ekranie komputera. Nie znamy innej matematyki, a świat nie wydaje się ulepiony z cyfr i z małych greckich literek.

Jedyną uczciwą odpowiedź na pytanie, jaki jest świat, stanowi stara dobra odpowiedź buddyjska: milczenie. Innymi słowy: bez względu na to, jaką cechę przypiszę światu „naprawdę”, będę w błędzie.